вторник, 28 сентября 2010 г.

Задачи на применение формулы Герона:

Задача № 1:Найдите площадь четырехугольника ABCD ,
в котором АВ=5 см, ВС=13 см, CD=9см, DA=15 см, АС=12см.


Задача № 2:Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ =13см, ВС = 14 см, АС = 15 см.

Задача №3:Вычислите площадь треугольника, если длины сторон 2; 37; 17.

Исследовать:
Задача № 4: Какую форму нужно придать треугольнику, чтобы при данной сумме его сторон он имел наибольшую площадь?
Ответ: Треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны равны между собой.

Формула Герона

Темы для докладов к теме формула Герона:

• Историческая справка о Героне Александрийском.
• Выводы формулы Герона разными способами.
• Преобразование формулы Герона, для работы с иррациональными числами.
• задачи, на применение формулы Герона.

Тема для дискуссии:

 Какой вывод формулы Герона лучше?
(каждый из участников защищает «свой» способ и критикует «чужой»)

Пифагоровы числа

Темы докладов по теме Пифагоровы числа
• Пифагорейское учение о числе.
• Пифагоровы числа и их свойства.

Тема для сочинения:
«Магический квадрат Пифагора»

Задача: Докажите, что катеты а, в и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами: а = 2тп, в = т2 - п2, с = т2 + п2, где т и п — любые натуральные числа, такие, что т > п.

Тема 2. Применения теоремы Пифагора.(продолжение)

Задача № 5:
На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка Е так, что АЕ = 4 см, ЕD = 5 см, ВЕ = 12 см, ВD = 13 см. Найдите площадь параллелограмма.

Задача № 6:
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ = 12 см, ВЕ = 9 см, АК = 10 см. Найдите АС.
Задача № 7:

В равнобедренной трапеции АВСD АD║ВС,<А = 300, высота ВК = 1 см, ВС = 2 3 см. Найдите площадь треугольника КМD, если М – середина отрезка ВD.
Задача № 8*:
В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырехугольник является параллелограммом.

Задача № 9*:
В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD и АСD равны, а площади треугольников АСD и ВСD не равны. Докажите, что данный четырехугольник является трапецией.

Тема 2. Применения теоремы Пифагора.

Задания для самостоятельной работы учащихся.
1.Вопросы:

 Для каких треугольников она применяется?
 Какие задачи позволяет решать теорема Пифагора?
 Какие данные надо иметь в прямоугольном треугольнике и какие действия с ними произвести, чтобы найдите по теореме Пифагора: а) гипотенузу?; б) катет?
 Сформулируйте теорему Пифагора, используя понятие площади квадрата.
 Какие треугольники называют Пифагоровыми?
 Что можно сказать о сравнительной длине: а) гипотенузы и катета; б) наклонной к прямой, проведенных из одной точки, и их проекций?

2. Задачи на применение прямой и обратной теоремы Пифагора

(задачи располагаются по нарастающей трудности):

Задача № 1:
В параллелограмме АВСD ВD =241 см, АС = 26 см, АD = 16 см. Через точку О – точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная стороне ВС. Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила сторону АD.

Задача № 2:
В треугольнике АВС АВ = ВС .
Высота АК делит сторону ВС на отрезки ВК = 24 см и КС = 1 см.
Найдите площадь треугольника и сторону АС.

Задача № 3:
Две окружности радиусами 13 и 15 см пересекаются. Расстояние между их центрами О1 и О2 равно 14 см. Общая хорда этих окружностей АВ пересекает отрезок О1О2 в точке К. Найдите О1К и КО2 ( О1 –центр окружности радиусом 13 см).

Задача №4:
В треугольнике АВС АВ = АС. Высота ВМ равна 9 см и делит сторону АС на два отрезка так, что АМ = 12 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

среда, 22 сентября 2010 г.

Полезные ссылки

'''Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств"'

Материал взят из книги В.Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
На этом сайте вы сможете найти сведения об истории открытия и доказательства теоремы Пифагора, а так же о самом Пифагоре. Здесь приведены около 30 различных доказательств этой теоремы от древнейндийского математика Басхары до векторного доказательства. Вы сможете узнать, как использовали свойства и теорему прямоугольного треугольника древние египтяне, архитекторы средневековья и как она используется в наше время.

'Теорема Пифагора на wikipedia"

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств теоремы.
Интерактивные чертежи.

«Теорема Пифагора» В.Литцман, 1960.

глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»

История теоремы Пифагора

О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва

'''Сайт математика-любителя Мастерова А.В.'''

Обобщенная теорема Пифагора-теорема косинусов." теорему косинусов школьникам нужно преподносить именно как обобщение теоремы Пифагора. Это позволит учащимся перенести практический опыт использования теоремы Пифагора на теорему Косинусов".

Задание к теме Теорема Пифагора. Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Тема 1. Теорема Пифагора. Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Вопросы для устной работы:

1) В чем заключается теорема Пифагора? Какое ей можно дать истолкование, используя понятие площади?

2) Что вы знаете о Пифагоре?

3) Знаете ли вы другие доказательства теоремы Пифагора?

Задания для самостоятельной работы учащихся.

1. подготовить учащимся (по желанию) выступления-содоклады к лекции учителя «Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

2. для практической работы в среде «Живая геометрия» (интерактивные чертежи)

§ «Смотри!»-Ответить на вопросы и объяснить доказательства: Какая теорема доказана и как? Объясните алгебраическое доказательство?

§ «Доказательство Леонардо»-Попробуйте восстановить доказательство;

§ «Шарнирное доказательство»- Дайте полное доказательство.

§ «Пифагоров паркет»-Восстановите доказательство по рисунку, построение нарушается когда зеленый квадрат становится большим, но все равно рисунок дает доказательство для всех возможных случаев .Почему?;

§ «Теорема Пифагора и квадрат суммы»-Восстановите заключенное здесь доказательство теоремы Пифагора. Попутно здесь выводится формула квадрата суммы. Как?;

§ «теорема Пифагора по Евклиду»-Докажите, что при всех преобразованиях треугольника его площадь не меняется. Объясните, как отсюда выводится теорема Пифагора?

3. Творческое задание: самостоятельное открытие доказательства теоремы Пифагора. Для учащихся, которым это задание окажется сложным предлагается доказать теорему по рисункам иллюстрирующих 8 способов на которые имеются ссылки в «Началах».

4. Выбрать темы для рефератов по темам: «Пифагор, философ, математик», «Магический квадрат Пифагора», «Пифагор и его союз», «Философские начала пифагорейцев», «Значение пифагореизма», т.п..

5. Тема для дискуссии: Какое из доказательств теоремы лучше и почему? (Учащиеся отстаивают свою точку зрения. Критикуют другие способы доказательства.)